Se i é a unidade imaginária, determine o valor de *
1+i¹+i²+i³+•••+i¹⁰⁰

O valor de A = i + i² + i³ + ... + i⁴⁹ + i⁵⁰ é -1 + i e o valor de A = i.i².i³. ... .i¹⁹.i²⁰ é igual a -1.

Observe que a sequência (i, i², i³, ..., i⁴⁹, i⁵⁰) é uma progressão geométrica de razão i, com 50 termos.

A fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada por: .

Como o primeiro termo é i, então:

.

O valor de i⁵¹ é -i. Logo:

.

Multiplicando o numerador e o denominador por -1 - i:

S = -1 + i.

Portanto, o valor de A = i + i² + i³ + ... + i⁴⁹ + i⁵⁰ é igual a -1 + i.

No caso de A = i.i².i³. ... .i¹⁹.i²⁰, podemos repetir a base e somar os expoentes.

A soma 1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 pode ser calculada utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, ou seja, .

Então:

S = 21.10

S = 210.

Portanto:

A = i²¹⁰

A = -1.

Explicação passo a passo: